Question

已知函数（）.

（1）若函数在定义域内单调递增，求实数的取值范围；

（2）若，且关于的方程在上恰有两个不等的实根，求实数的取值范围；

（3）设各项为正数的数列满足，（），求证：.

 

Answer 1

（1）；（2）；（3）答案详见解析.

【解析】

试题分析：（1）求导函数，函数在定义域内单调递增等价于在时恒成立，参变分离后，转化为求确定函数的最值问题；（2）将解析式带入得，

，方程在上恰有两个不等的实根，等价于的图象与x轴有两个不同的交点，利用导数判断函数的大致图象，从而得解；（3）本题难度大，很难找到突破口，不妨从结论入手，考虑等号情形，容易联想到等比数列，由结论，

则，故，利用累积法可证明．

试题解析：（1）函数的定义域为，

，依题意在时恒成立，

则在时恒成立，即，

当时，取最小值-1，所以的取值范围是 4分

（2），由得在上有两个不同的实根，

设

，时，，时，

，，

，得

则 8分

（3）易证当且时，.

由已知条件，

故所以当时，，相乘得又故，即 12分

考点：1、导数在单调性上的应用；2、利用导数求函数的极值、最值；3、放缩法.