Question

【题目】已知函数.

（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）若函数在区间上存在极值，求实数的取值范围；

（Ⅲ）设，对任意恒有，求实数的取值范围。

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）.

【解析】

（Ⅰ）求出导函数得到斜率，利用点斜式得到切线方程；

（Ⅱ）求出函数的极值，再探讨函数在区间 （m，m）（其中a＞0）上存在极值，寻找关于m的不等式，求出实数m的取值范围；

（Ⅲ）先求导，再构造函数h（x）＝lnx，求出h（x）的最大值小于0即可．

解：（I）.

故切线的斜率为，又f（e）=

∴切线方程为：，即

（II）.当时，

当x>l时，

f（x）在（0，1）上单调递增,在（1.+）上单调递减。

故f（x）在x=l处取得极大值。

∵f(x)在区间（m，m+）（m>0）上存在极值，

∴0<m<1且m+>1，解得

（Ⅲ）.由题可知.a≠0，且

,

,

当a<0时，g（x）>0.不合题意。

当a>0时，由可得恒成立

设，则

求导得：

设

①当0<a≤l时，△≤0，此时：

∴h（x）在（0，1）内单调递增，又h（l）=0，所以h（x）<h（l）=0.

所以0<a≤l符合条件.

②当a>1时，△>0，注意到t（0）=1，t（1）=4（1-a）<0，存在xo（0，1），使得t（x0）=0，

于是对任意，t（x）<0，h’（x）<0.则h（x）在（xo，1）内单调递减，又h（l）=0，所以当时，h（x）>0，不合要求，

综合①②可得0<a≤1