Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左顶点和右焦点分别为A，F，右准线为直线m，圆D：x²+y²-6y-4=0．
（1）若点A在圆D上，且椭圆C的离心率为

3

2

，求椭圆C的方程；
（2）若直线m上存在点Q，使△AFQ为等腰三角形，求椭圆C的离心率的取值范围；
（3）若点P在（1）中的椭圆C上，且过点P可作圆D的两条切线，切点分别为M、N，求弦长MN的取值范围．

Answer 1

分析：（1）对x²+y²-6y-4=0，令y=0，则x=±2．所以，A（-2，0），a=2，又因为，e=

c

a

=

3

2

，所以，c=

3

，由此能够得到椭圆C的方程．
（2）由△AFQ为等腰三角形a+c=AF=QF＞

a2

c

-c，知2c²+ac-a²＞0，2e²+e-1＞0，（2e-1）（e+1）＞0，又0＜e＜1，所以

1

2

＜e＜1，由此得到椭圆离心率取值范围．
（3）连PD交MN于H，连DM，则由圆的几何性质知：H为MN的中点，DM⊥PM，MN⊥PD．所以，MN=2MH=

2MD•MP

PD

=

2MD PD2-MD2

PD

=2MD•

1- MD2 PD2

．⊙D：x²+（y-3）²=13，MD=

13

，所以MN=2

13

•

1- 13 PD2

．由此能够求出弦长MN的取值范围．

解答：解：（1）对x²+y²-6y-4=0，令y=0，则x=±2．
所以，A（-2，0），a=2（2分）
又因为，e=

c

a

=

3

2

，
所以，c=

3

，（3分）
b²=a²-c²=1（4分）
所以，椭圆C的方程为：

x2

4

+y2=1．（5分）
（2）由图知△AFQ为等腰三角形a+c=AF=QF＞

a2

c

-c（7分）
所以，2c²+ac-a²＞0，2e²+e-1＞0，（2e-1）（e+1）＞0
又0＜e＜1，
所以

1

2

＜e＜1，即椭圆离心率取值范围为(

1

2

，1)．（10分）
（3）连PD交MN于H，连DM，则由圆的几何性质知：H为MN的中点，DM⊥PM，MN⊥PD．
所以，MN=2MH=

2MD•MP

PD

=

2MD PD2-MD2

PD

=2MD•

1- MD2 PD2

⊙D：x²+（y-3）²=13，MD=

13

所以，MN=2

13

•

1- 13 PD2

（13分）
设P（x₀，y₀），则

x02

4

+y02=1且-1≤y₀＜0
所以，PD²=x₀²+（y₀-3）²=-3y₀²-6y₀²+13=-3（y₀+1）²+16（-1≤y₀＜0）
所以，13＜PD²≤16（15分）
所以，O＜MN≤

39

2

．（16分）

点评：本题考查圆锥曲线和直线的位置关系，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．