Question

2．在平面直角坐标系xOy中．已知直线l的普通方程为x-y-2=0，曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2\sqrt{3}cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），设直线l与曲线C交于A，B两点．
（1）求线段AB的长
（2）已知点P在曲线C上运动．当△PAB的面积最大时，求点P的坐标及△PAB的最大面积．

Answer 1

分析 （1）根据题意，将曲线C的参数方程变形为普通方程，将直线x-y-2=0代入其中，可得x²-3x=0，解可得x的值，由弦长公式计算可得答案；
（2）分析可得要使△PAB的面积最大，则必须使P到直线直线l的距离最大，设P的坐标为（2$\sqrt{3}$cosθ，2sinθ），其中θ∈[0，2π），由点到直线l的距离公式可得d=$\frac{|4cos（θ+\frac{π}{6}）-2|}{\sqrt{2}}$，由余弦函数的性质分析可得当θ+$\frac{π}{6}$=π，即θ=$\frac{5π}{6}$时，d取得最大值，代入点的坐标（2$\sqrt{3}$cosθ，2sinθ）中可得P的坐标，进而计算可得△PAB的最大面积，即可得答案．

解答 解：（1）根据题意，曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2\sqrt{3}cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$，则其普通方程为：$\frac{{x}^{2}}{12}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，
将直线x-y-2=0代入$\frac{{x}^{2}}{12}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1可得：x²-3x=0，
解可得x=0或3，
故|AB|=$\sqrt{1+{1}^{2}}$|x₁-x₂|=3$\sqrt{2}$；
（2）要求在椭圆$\frac{{x}^{2}}{12}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1上求一点P，使△PAB的面积最大，则P到直线直线l的距离最大；
设P的坐标为（2$\sqrt{3}$cosθ，2sinθ），其中θ∈[0，2π），
则P到直线l的距离d=$\frac{|2\sqrt{3}cosθ-2sinθ-2|}{\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}}$=$\frac{|4cos（θ+\frac{π}{6}）-2|}{\sqrt{2}}$，
又由θ∈[0，2π），则$\frac{π}{6}$≤θ+$\frac{π}{6}$＜$\frac{13π}{6}$，
所以当θ+$\frac{π}{6}$=π，即θ=$\frac{5π}{6}$时，d取得最大值，且d_max=3$\sqrt{2}$，
此时P（-3，1），
△PAB的最大面积S=$\frac{1}{2}$×|AB|×d=9．

点评 本题考查椭圆与直线的位置关系，涉及椭圆的参数方程，关键是正确将参数方程化为普通方程．