Question

已知底面边长为

3

，侧棱长为6的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，其对角线为直径，则该球的体积为（　　）

• A、

  256

  3

  π
• B、7

  42

  π
• C、

  500

  3

  π
• D、

  6

  π

Answer 1

考点：球的体积和表面积

专题：空间位置关系与距离

分析：由长方体的对角线公式，算出正四棱柱体对角线的长，从而得到球直径长，得球半径R=1，最后根据球的体积公式，可算出此球的体积．

解答： 解：∵正四棱柱的底面边长为

3

，侧棱长为6，
∴正四棱柱体对角线的长为

3+3+36

=

42

，
又∵正四棱柱的顶点在同一球面上，
∴正四棱柱体对角线恰好是球的一条直径，得球半径R=

42

2

，
根据球的体积公式，得此球的体积为V=

4

3

πR³=7

42

π．
故选：B．

点评：本题给出球内接正四棱柱的底面边长和侧棱长，求该球的体积，考查了正四棱柱的性质、长方体对角线公式和球的体积公式等知识，属于基础题．