Question

10．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知csinA=$\sqrt{3}$acosC．
（1）求角C的大小；
（2）c=$\sqrt{7}$，A≠$\frac{π}{2}$，sinC+sin（B-A）=3sin2A，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理化简已知的等式，根据A为三角形的内角，得到sinA不为0，变形后得到tanC的值，由C为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出C的度数；
（2）通过三角形的内角和，以及两角和的正弦函数，以及sinC+sin（B-A）=3sin2A，A≠$\frac{π}{2}$，推出b=3a，由余弦定理可求出a，b的值，然后求解三角形的面积．

解答 解：（1）利用正弦定理化简csinA=$\sqrt{3}$acosC得：sinCsinA=$\sqrt{3}$sinAcosC，
又A为三角形的内角，∴sinA≠0，
∴sinC=$\sqrt{3}$cosC，即tanC=$\sqrt{3}$，
又C为三角形的内角，$\frac{3\sqrt{3}}{4}$
则$C=\frac{π}{3}$．
（2）由 C=π-（A+B），得sinC=sin（B+A）=sinBcosA+cosBsinA，
∵sinC+sin（B-A）=3sin2A，
∴sinBcosA+cosBsinA+sinBcosA-cosBsinA=6sinAcosA，
整理得sinBcosA=3sinAcosA．  
∵A≠$\frac{π}{2}$，cosA≠0，则sinB=3sinA，由正弦定理得b=3a．②
结合c=$\sqrt{7}$，$C=\frac{π}{3}$，则由余弦定理可得：7=a²+9a²-3a²，解得a=1，b=3，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}×1×3×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题考查正弦定理与余弦定理的应用，考查分析问题解决问题的能力，考查了计算能力，属于基本知识的考查．