Question

18．已知平面内两个非零向量$\vec a，\vec b$互相垂直，若向量$\vec c$满足：|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$|=|$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{c}$|=|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=2，则$\overrightarrow{b}$•$\overrightarrow{c}$的最大值是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． $\sqrt{2}$
• D． 3

Answer 1

分析 作图，使$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}，\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}，\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{OA}⊥\overrightarrow{OB}$，并且△ABC是边长为2的等边三角形，从而可将$\overrightarrow{b}•\overrightarrow{c}$变成：$\overrightarrow{b}•\overrightarrow{c}=\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{AC}+2$．这时候设$\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{AC}$的夹角为θ，从而有$|\overrightarrow{OA}|=2cos（\frac{2π}{3}-θ）$，由数量积的计算公式即可得到$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{AC}$=4cos（$\frac{2π}{3}-θ$）cosθ=2sin（2θ$-\frac{π}{6}$）-1，从而可以得到$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{AC}$的最大值为1，这样便可得出$\overrightarrow{b}•\overrightarrow{c}$的最大值．

解答 解：作$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}，\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}，\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{c}$，根据条件$\overrightarrow{OA}⊥\overrightarrow{OB}$，且$|\overrightarrow{CA}|=|\overrightarrow{CB}|=|\overrightarrow{BA}|=2$，如下图所示：
则：$\overrightarrow{b}•\overrightarrow{c}=\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OB}•（\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AC}）$=$\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{AC}=（\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}）•\overrightarrow{AC}$
=$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{AC}+2•2•\frac{1}{2}$=$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{AC}+2$；
设$\overrightarrow{OA}$与$\overrightarrow{AC}$夹角为θ，$0＜θ＜\frac{2π}{3}$，则$∠BAO=\frac{2π}{3}-θ$；
∴$|\overrightarrow{OA}|=|\overrightarrow{BA}|cos（\frac{2π}{3}-θ）=2cos（\frac{2π}{3}-θ）$；
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{AC}=2cos（\frac{2π}{3}-θ）•2•cosθ$=$4（-\frac{1}{2}cosθ+\frac{\sqrt{3}}{2}sinθ）cosθ$
=$2（-\frac{1}{2}cos2θ+\frac{\sqrt{3}}{2}sin2θ-\frac{1}{2}）$=2$sin（2θ-\frac{π}{6}）-1$；
∵$0＜θ＜\frac{2π}{3}$；
∴$0＜2θ＜\frac{4π}{3}$；
∴$-\frac{π}{6}＜2θ-\frac{π}{6}＜\frac{7π}{6}$；
∴$2θ-\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$，即$θ=\frac{π}{3}$时，$sin（2θ-\frac{π}{6}）$取最大值1；
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{AC}$取到最大值1，$\overrightarrow{b}•\overrightarrow{c}$取到最大值3；
即$\overrightarrow{b}•\overrightarrow{c}$的最大值为3．
故选：D．

点评 考查有向线段表示向量，数形结合解题的方法，以及向量加法的几何意义，向量垂直的充要条件，余弦函数的定义，数量积的计算公式，以及两角差的正余弦公式，二倍角的正、余弦公式．