给出下列五个结论:①在△ABC中.若sinA＞sinB.则必有cosA＜cosB,②在△ABC中.若a.b.c成等比数列.则角B的取值范围为$({0.\frac{π}{3}}]$,③等比数列{an}中.若a3=2.a7=8.则a5=±4,④等差数列{an}的前n项和为Sn.S10＜0且S11=0.满足Sn≥Sk对n∈N*恒成立.则正整数k构成集合为{5.6}⑤� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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6．给出下列五个结论：
①在△ABC中，若sinA＞sinB，则必有cosA＜cosB；
②在△ABC中，若a，b，c成等比数列，则角B的取值范围为$（{0，\frac{π}{3}}]$；
③等比数列{a_n}中，若a₃=2，a₇=8，则a₅=±4；
④等差数列{a_n}的前n项和为S_n，S₁₀＜0且S₁₁=0，满足S_n≥S_k对n∈N^*恒成立，则正整数k构成集合为{5，6}
⑤若关于x的不等式（a²-1）x²-（a-1）x-1＜0的解集为R，则a的取值范围为$（{-\frac{3}{5}，1}）$．
其中正确结论的序号是①②④．（填上所有正确结论的序号）．

分析 ①根据正弦定理，大边对大角可得A＞B，根据余弦的图象可得命题正确；
②根据已知得b²=ac，由余弦定理可得cosB≥$\frac{1}{2}$，可解得B的范围，命题正确；
③由$\left\{\begin{array}{l}{2={a}_{1}{q}^{2}}\\{8={a}_{2}{q}^{6}}\end{array}\right.$，解得a₁，q²，可得a₅，不正确；
④由$\left\{\begin{array}{l}{10{a}_{1}+45d＜0}\\{11{a}_{1}+55d=0}\end{array}\right.$，即可得d＞0，a₆=a₁+5d=0，可得a₁到a₅都是负数，a₆是0，以后各项全是正数．要S_n≥S_k对n∈N⁺恒成立，可解得k=5，或k=6可证命题正确；
⑤首先题目由不等式（a²-1）x²-（a-1）x-1＜0的解集为R，求实数a的取值范围，考虑转化为函数f（x）=（a²-1）x²-（a-1）x-1．对任意的x，函数值小于零的问题．再分类讨论a=1或a≠1的情况即可解出答案．

解答解：①在△abc中，sinA＞sinB，根据正弦定理，根据大边对大角可得A＞B，根据余弦的图象，可得cosA＜cosB，所以正确；
②根据已知得：b²=ac，由余弦定理可得cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-ac}{2ac}$≥$\frac{2ac-ac}{2ac}$=$\frac{1}{2}$，可得B∈$（{0，\frac{π}{3}}]$，所以正确；
③由$\left\{\begin{array}{l}{2={a}_{1}{q}^{2}}\\{8={a}_{2}{q}^{6}}\end{array}\right.$，解得a₁=1，q²=2，可得：a₅=${a}_{1}{q}^{4}$=4，所以不正确；
④解：∵S_n是等差数列{a_n}的前n项和，S₁₀＜0，且S₁₁=0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{10{a}_{1}+45d＜0}\\{11{a}_{1}+55d=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+5d=0}\\{{a}_{1}+\frac{9}{2}d＜0}\end{array}\right.$④，
∴d＞0，a₆=a₁+5d=0，
∴a₁到a₅都是负数，a₆是0，以后各项全是正数．
∵S_n≥S_k对n∈N⁺恒成立，∴k=5，或k=6．
∴正整数k构成的集合为{5，6}．故正确；
⑤解：设函数f（x）=（a²-1）x²-（a-1）x-1．由题设条件关于x的不等式（a²-1）x²-（a-1）x-1＜0的解集为R．
可得对任意的x属于R．都有f（x）＜0．
又当a≠1时，函数f（x）是关于x的抛物线．故抛物线必开口向下，且于x轴无交点．
故满足$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}-1＜0}\\{△=（a-1）^{2}+4（{a}^{2}-1）＜0}\end{array}\right.$
故解得-$\frac{3}{5}$＜x＜1．
当a=1时．f（x）=-1．成立．
综上，a的取值范围为（-$\frac{3}{5}$，1]．
故不正确．
故答案为：①②④．

点评本题主要考查了正弦定理，余弦定理，等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的应用，考查了函数的性质问题，其中应用到函数在不同区间的值域，对于抛物线值域问题一直是高考重点题型，多以选择填空的形式出现，同学们要注意掌握，本题综合性强，考查知识点多，属于难题．

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