Question

19．已知一圆C的圆心为C（2，-1），且该圆被直线l：x-y-1=0截得的弦长是2$\sqrt{2}$，求该圆的方程和过弦两端点的切线的方程．

Answer 1

分析 设圆C的方程是（x-2）²+（y+1）²=r²（r＞0），利用圆的半径、弦心距及弦长的关系求得r，则圆的方程可求；画出图形，联立直线方程和圆的方程，求出弦的两端点的坐标，即可得到过弦两端点的切线的方程．

解答 解：设圆C的方程是（x-2）²+（y+1）²=r²（r＞0），
则弦长P=2$\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}$，
其中d为圆心到直线x-y-1=0的距离，d=$\frac{|2×1+1-1|}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$
∴P=2$\sqrt{{r}^{2}-（\sqrt{2}）^{2}}=2\sqrt{2}$，则r²=4，
∴圆的方程为（x-2）²+（y+1）²=4；
如图，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=x-1}\\{（x-2）^{2}+（y+1）^{2}=4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=-1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=1}\end{array}\right.$．
∴弦的两个端点为（0，-1），（2，1），
由图可知，过点（0，-1）的切线方程为x=0；
过点（2，1）的切线方程为y=1．

点评 本题考查圆的方程与圆的切线方程的求法，考查数形结合的解题思想方法，注意圆的性质的合理运用，是中档题．