Question

15．已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₂=3，a₁+a₃+a₅=15．
（1）求a_n及S_n；
（2）设b_n=$\frac{1}{{a}_{n+1}^{2}-1}$（n∈N^*），设数列{b_n}的前n项和T_n，证明：T_n＜$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 （1）{a_n}是等差数列，且a₂=3，a₁+a₃+a₅=15，求得，a₁=1，d=2，求得a_n及S_n，
（2）写出b_n的通项公式，利用裂项法求其前n项和T_n=$\frac{1}{4}$（1-$\frac{1}{n+1}$），即可证得T_n＜$\frac{1}{4}$．

解答 解：（1）{a_n}为等差数列，a₂=3，a₁+a₃+a₅=15，
即3a₂+3d=15，
∴d=2，a₁=1，
a_n=2n-1，
S_n=n²；
（2）证明：b_n=$\frac{1}{{a}_{n+1}^{2}-1}$=$\frac{1}{（2n+1）^{2}-1}$=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
数列{b_n}的前n项和T_n，
T_n=$\frac{1}{4}$（1-$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+…+（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
=$\frac{1}{4}$（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
=$\frac{1}{4}$（1-$\frac{1}{n+1}$）＜$\frac{1}{4}$；
∴T_n＜$\frac{1}{4}$．

点评 本题主要考察等差数列求通项公式以及利用裂项法求数列的前n项和，属于中档题．