Question

6．在等差数列{a_n}中，若a₃+a₈+a₁₃=12，a₃a₈a₁₃=28．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求a₂₃的值；
（3）-$\frac{16}{5}$是否是数列{a_n}中的项？

Answer 1

分析 （1）由等差数列的性质得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{3}+{a}_{13}=2{a}_{8}=8}\\{{a}_{3}{a}_{13}=7}\end{array}\right.$，解方程组可得a₃和a₁₃，可得公差d，则通项公式可求；
（2）分别求出在不同通项公式下的a₂₃的值；
（3）把-$\frac{16}{5}$分别代入两个不同的通项公式，求解n的值得答案．

解答 解：（1）∵在等差数列中a₃+a₈+a₁₃=3a₈=12，∴a₈=4，
∴a₃a₈a₁₃=4a₃a₁₃=28，∴a₃a₁₃=7，
联立$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{3}+{a}_{13}=2{a}_{8}=8}\\{{a}_{3}{a}_{13}=7}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{3}=1}\\{{a}_{13}=7}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{3}=7}\\{{a}_{13}=1}\end{array}\right.$，
当$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{3}=1}\\{{a}_{13}=7}\end{array}\right.$时，数列的公差d=$\frac{7-1}{13-3}=\frac{3}{5}$，通项a_n=1+$\frac{3}{5}$（n-3）=$\frac{3n-4}{5}$；
当$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{3}=7}\\{{a}_{13}=1}\end{array}\right.$时，数列的公差d=$\frac{1-7}{13-3}=-\frac{3}{5}$，通项a_n=7-$\frac{3}{5}$（n-3）=$\frac{-3n+44}{5}$．
（2）当a_n=$\frac{3n-4}{5}$时，${a}_{23}=\frac{3×23-4}{5}=13$；
当a_n=$\frac{-3n+44}{5}$时，${a}_{23}=\frac{-3×23+44}{5}=-5$．
（3）当a_n=$\frac{3n-4}{5}$时，由$\frac{3n-4}{5}=-\frac{16}{5}$，解得n=-4，不合题意，
∴-$\frac{16}{5}$不是数列{a_n}中的项；
当a_n=$\frac{-3n+44}{5}$时，由$\frac{-3n+44}{5}=-\frac{16}{5}$，解得n=20．
∴-$\frac{16}{5}$是数列{a_n}中的第20项．

点评 本题考查等差数列的通项公式，涉及方程组的解法和分类讨论，是中档题．