Question

18．已知实数x，y满足条件$\left\{\begin{array}{l}{y≥0}\\{y≤x}\\{2x+y+k≤0}\end{array}\right.$（k为常数），若$\frac{y-1}{x+1}$的取值范围为[-1，$\frac{1}{2}$]，则实数k=-9．

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，根据$\frac{y-1}{x+1}$的取值范围为[-1，$\frac{1}{2}$]，作出对应的直线，利用图象确定交点坐标A，也在2x+y+k=0上即可得到结论．

解答 解：作出不等式组对应的平面区域如图：
设k=$\frac{y-1}{x+1}$，则k的几何意义是区域内的点到定点D（-1，1）的斜率，
∵$\frac{y-1}{x+1}$的取值范围为[-1，$\frac{1}{2}$]，
∴由$\frac{y-1}{x+1}$=-1，得y=-x，由$\frac{y-1}{x+1}$=$\frac{1}{2}$，得y=$\frac{1}{2}$+$\frac{3}{2}$，
作出y=-x，和y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{3}{2}$的直线，由图象知y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{3}{2}$与y=x相交于A，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y=\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=3}\end{array}\right.$，即A（3，3），
同时A也在2x+y+k=0上，即6+3+k=0，k=-9，
故答案为：-9．

点评 本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合，结合直线斜率的公式求出交点坐标是解决本题的关键．