Question

3．函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）在同一个周期内，当x=$\frac{π}{4}$时y取最大值1，当x=$\frac{7π}{12}$时y取最小值-1．
（1）求函数的解析式y=f（x）；
（2）当x∈[$\frac{5π}{36}$，$\frac{19π}{36}$]时．求函数y=f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）函数的半周期为$\frac{7π}{12}-\frac{π}{4}$，代入周期公式求出ω，利用特殊值解出φ，得出f（x）的解析式；
（2）根据x的范围得出3x-$\frac{π}{4}$的范围，利用正弦函数的单调性得出f（x）的值域．

解答 解：（1）由题意可知f（x）的周期T=2（$\frac{7π}{12}-\frac{π}{4}$）=$\frac{2π}{3}$．
∴ω=$\frac{2π}{T}$=3．
∵f（$\frac{π}{4}$）=1，∴sin（$\frac{3π}{4}+$φ）=1，
∴$\frac{3π}{4}+$φ=$\frac{π}{2}+2kπ$，φ=-$\frac{π}{4}+2kπ$，k∈Z．
∵|φ|＜$\frac{π}{2}$，∴当k=0时，φ=-$\frac{π}{4}$．
∴f（x）=sin（3x-$\frac{π}{4}$）．
（2）当x∈[$\frac{5π}{36}$，$\frac{19π}{36}$]时，3x-$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{4π}{3}$]，
∴当3x-$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$时，f（x）取得最大值1，
当3x-$\frac{π}{4}$=$\frac{4π}{3}$时，f（x）取得最小值-$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴函数y=f（x）的值域是[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]．

点评 本题考查了正弦函数的图象与性质，属于中档题．