Question

16．已知α为钝角，若sin（α+$\frac{π}{3}$）=-$\frac{4}{5}$，则cos（2α+$\frac{5π}{12}$）的值为$\frac{17\sqrt{2}}{50}$．

Answer 1

分析 根据sin（α+$\frac{π}{3}$）求出cos（α+$\frac{π}{3}$）以及sin2（α+$\frac{π}{3}$）、cos2（α+$\frac{π}{3}$）的值，
再利用cos（2α+$\frac{5π}{12}$）=cos[（2α+$\frac{2π}{3}$）-$\frac{π}{4}$]，即可求出结果．

解答 解：α为钝角，且sin（α+$\frac{π}{3}$）=-$\frac{4}{5}$，
∴π＜α+$\frac{π}{3}$＜$\frac{3π}{2}$，
∴cos（α+$\frac{π}{3}$）=-$\frac{3}{5}$，
∴sin2（α+$\frac{π}{3}$）=2sin（α+$\frac{π}{3}$）cos（α+$\frac{π}{3}$）=2×（-$\frac{4}{5}$）×（-$\frac{3}{5}$）=$\frac{24}{25}$，
cos2（α+$\frac{π}{3}$）=2cos²（α+$\frac{π}{3}$）-1=2×${（-\frac{3}{5}）}^{2}$-1=-$\frac{7}{25}$；
∴cos（2α+$\frac{5π}{12}$）=cos[（2α+$\frac{2π}{3}$）-$\frac{π}{4}$]
=cos（2α+$\frac{2π}{3}$）cos$\frac{π}{4}$+sin（2α+$\frac{2π}{3}$）sin$\frac{π}{4}$
=-$\frac{7}{25}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$+$\frac{24}{25}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{17\sqrt{2}}{50}$．
故答案为：$\frac{17\sqrt{2}}{50}$．

点评 本题考查了同角的三角函数关系的应用问题，也考查了三角恒等变换的应用问题以及公式的灵活运用问题，是基础题目．