Question

6．设a∈R，f（x）=|x-a|+（1-a）x．
（I）解关于a的不等式f（2）＜0；
（Ⅱ）如果f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （I）解法1：通过分类讨论，将f（2）=|2-a|+2（1-a）中的绝对值符号去掉，再分段解f（2）＜0，最后取并即可；
解法2：由f（2）＜0，得|2-a|+2（1-a）＜0，即|a-2|＜2（a-1），利用绝对值的几何意义，可得-2（a-1）＜a-2＜2（a-1），解之即可；
（Ⅱ）依题意，f（x）≥0恒成立⇒$\left\{\begin{array}{l}-a≤0\\ 2-a≥0\\-{a}^{2}+a≥0\end{array}\right.$，解之即可．

解答 解：（ I）解法1：$f（2）=|{2-a}|+2（{1-a}）=\left\{{\begin{array}{l}{-a，}&{a＞2}\\{4-3a，}&{a≤2}\end{array}}\right.$----------------------（2分）
不等式f（2）＜0等价于$\left\{{\begin{array}{l}{a＞2}\\{-a＜0}\end{array}}\right.$或者$\left\{{\begin{array}{l}{a≤2}\\{4-3a＜0}\end{array}}\right.$，-----------------------------------（3分）
解得a＞2或$\frac{4}{3}＜a≤2$，即$a＞\frac{4}{3}$，∴所求不等式的解集为$（\frac{4}{3}，\;+∞）$；-----------------（4分）
解法2：由f（2）＜0，得|2-a|+2（1-a）＜0，即|a-2|＜2（a-1），----------------（2分）
-2（a-1）＜a-2＜2（a-1），解得$a＞\frac{4}{3}$，解集为$（\frac{4}{3}，\;+∞）$；-------------------------（4分）
（II）$f（x）=|{x-a}|+（{1-a}）x=\left\{{\begin{array}{l}{-ax+a，}&{x≤a}\\{（{2-a}）x-a，}&{x＞a}\end{array}}\right.$，-----------------------------（6分）
因为f（x）≥0恒成立，故有$\left\{{\begin{array}{l}{-a≤0}\\{2-a≥0}\\{-{a^2}+a≥0}\end{array}}\right.$，-----------------------------------------（8分）
解得0≤a≤1．-----------------------------------------------------------------（10分）

点评 本题考查分段函数的应用，考查等价转化思想与函数恒成立问题，突出考查运算求解能力，属于中档题．