Question

15．已知a，b，c为互不相等的整数，则4（a²+b²+c²）-（a+b+c）²的最小值为8．

Answer 1

分析 设a+b+c=t，由于（a+b+c）²=a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac，（a-b）²+（b-c）²+（a-c）²≥0，可得t²≤3（a²+b²+c²），4（a²+b²+c²）-（a+b+c）²≥$\frac{4}{3}{t}^{2}$-t²=$\frac{1}{3}{t}^{2}$，利用a，b，c为互不相等的整数，由于已知a，b，c为互不相等的整数，由此可知：只要使得a²+b²+c²取得最小值即可．

解答 解：设a+b+c=t，
∵（a+b+c）²=a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac，
（a-b）²+（b-c）²+（a-c）²≥0，
∴2（a²+b²+c²）≥2ab+2bc+2ac，
∴t²≤3（a²+b²+c²），
4（a²+b²+c²）-（a+b+c）²≥$\frac{4}{3}{t}^{2}$-t²=$\frac{1}{3}{t}^{2}$，
若a，b，c为相等的整数，则当a=b=c=0时，最小值为0．
由于已知a，b，c为互不相等的整数，由此可知：只要使得a²+b²+c²取得最小值即可，
于是对于a，b，c的取值，只要考查a，b，c∈{-1，0，1}的情况即可得出．
不妨取a=-1，b=0，c=1时，4（a²+b²+c²）-（a+b+c）²取得最小值8．

点评 本题考查了不等式的性质、基本不等式的性质、乘法公式，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．