Question

5．已知不等式$\sqrt{（x-a）^{2}+4（lnx-a-\frac{1}{2}）^{2}}$≥$\frac{3\sqrt{5}}{5}$恒成立，则实数a的取值为（　　）

• A． $\frac{1}{5}$
• B． -$\frac{1}{5}$
• C． $\frac{2}{5}$
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 由两点的距离公式可得原不等式的几何意义为点P（a，2a+1）与点（x，2lnx）的距离的最小值为$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，设曲线y=2lnx的一点A（m，2lnm）为切点，即有PA与过A的切线垂直时，PA取得最小值．求出函数y的导数，求得切线的斜率，由两直线垂直的条件可得a，m的方程，对照选项，解方程可得a的值．

解答 解：不等式$\sqrt{（x-a）^{2}+4（lnx-a-\frac{1}{2}）^{2}}$≥$\frac{3\sqrt{5}}{5}$即为：
$\sqrt{（x-a）^{2}+（2lnx-2a-1）^{2}}$≥$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，
表示点P（a，2a+1）与点（x，2lnx）的距离的最小值为$\frac{3\sqrt{5}}{5}$．
设曲线y=2lnx的一点A（m，2lnm）为切点，
即有PA与过A的切线垂直时，PA取得最小值．
由y=2lnx的导数为y′=$\frac{2}{x}$，
可得切线的斜率为$\frac{2}{m}$，
由两直线垂直的条件可得-$\frac{m}{2}$=$\frac{2a+1-2lnm}{a-m}$，①
且$\sqrt{（m-a）^{2}+（2lnm-2a-1）^{2}}$=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，②
由①可得2lnm-2a-1=-$\frac{m（m-a）}{2}$，
代入②可得（m-a）²（1+$\frac{{m}^{2}}{4}$）=$\frac{9}{5}$，
对照选项，可得a=-$\frac{1}{5}$时，m=1，满足题意．
故选：B．

点评 本题考查不等式恒成立问题的解法，注意运用两点的距离和导数的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题．