Question

10．设函数f（x）=|2x-a|，
（Ⅰ）若a=4，求f（x）≤x的解集；
（Ⅱ）若f（x+1）＞|2-a|对?x∈（0，+∞）恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）法一：通过讨论2x-4的范围，得到关于x的不等式组，解出取并集；法二：根据题意得出x≥0，再去绝对值即可，法三：根据题意得出x≥0，两边平方解出即可；
（Ⅱ）法一：问题转化为f（x+1）＞f（1）对?x∈（0，+∞）恒成立，结合函数的单调性问题，求出a的范围即可；法二：等价于（2x+2-a）²＞（2-a）²对?x∈（0，+∞）恒成立，求出a的范围即可．

解答 解：（Ⅰ）若a=4，则f（x）≤x可化为|2x-4|≤x，
法1：即$\left\{\begin{array}{l}2x-4≤0\\ 4-2x≤x\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}2x-4≥0\\ 2x-4≤x\end{array}\right.$，
解得$\frac{4}{3}≤x≤4$，
所以f（x）≤x的解集为$\left\{{x|\frac{4}{3}≤x≤4}\right\}$；
法2：即$\left\{\begin{array}{l}x≥0\\ 2x-4≤x\\ 2x-4≥-x\end{array}\right.$，
解得$\frac{4}{3}≤x≤4$，
所以f（x）≤x的解集为$\left\{{x|\frac{4}{3}≤x≤4}\right\}$；
法3：即$\left\{\begin{array}{l}x≥0\\{（{2x-4}）^2}≤{x^2}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}x≥0\\ 3{x^2}-16x+16≤0\end{array}\right.$解得$\frac{4}{3}≤x≤4$，
所以f（x）≤x的解集为$\left\{{x|\frac{4}{3}≤x≤4}\right\}$；
（Ⅱ）法1：f（x+1）＞|2-a|对?x∈（0，+∞）恒成立
即f（x+1）＞f（1）对?x∈（0，+∞）恒成立，
又因为f（x）=|2x-a|在$（{-∞，\frac{a}{2}}]$上单调递减，在$[{\frac{a}{2}，+∞}）$上单调递增，
所以$\frac{a}{2}≤1$解得a≤2，
所以实数a的取值范围为（-∞，2]；
法2：f（x+1）＞|2-a|对?x∈（0，+∞）恒成立
即|2x+2-a|＞|2-a|对?x∈（0，+∞）恒成立
等价于（2x+2-a）²＞（2-a）²对?x∈（0，+∞）恒成立，
即a＜2+x对?x∈（0，+∞）恒成立，
所以a≤2…（9分）
所以实数a的取值范围为（-∞，2]．

点评 本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，是一道中档题．