【题目】已知多面体,
,
,
均垂直于平面
,
,
,
,
.
(1)证明:⊥平面
;
(2)求直线与平面
所成的角的正弦值.
【答案】(1)见解析;(2)直线与平面
所成的角的正弦值为
.
【解析】
(1)根据直线与平面垂直的判定定理,要证平面
,只需证
与平面
两条相交直线垂直。根据已知条件可求
与
的长度,然后跟据勾股定理可证
.。同理可得
.,进而可得
平面
。(2)要求直线
与平面
所成的角的正弦值,应先作角。由条件可得平面
平面
。所以过点
作
,交直线
于点
,连结
. 可知
是
与平面
所成的角.根据条件可求
的三边长,进而可由余弦定理求得
,然后可求
。进而求得
,在
中即可求得结果。
(1)由得
,
所以.
故.
由,
得
,
由得
,
由,得
,所以
,故
.
因此平面
.
(2)如图,过点作
,交直线
于点
,连结
.
由平面
得平面
平面
,
由得
平面
,
所以是
与平面
所成的角.
由得
,
所以,故
.
因此,直线与平面
所成的角的正弦值是
.
方法二:
(1)如图,以AC的中点O为原点,分别以射线OB,OC为x,y轴的正半轴,建立空间直角坐标系O-xyz.
由题意知各点坐标如下:
因此
由得
.
由得
.
所以平面
.
(2)设直线与平面
所成的角为
.
由(Ⅰ)可知
设平面的法向量
.
由即
可取
.
所以.
因此,直线与平面
所成的角的正弦值是
.
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【题目】如图,直三棱柱的底面
是等腰直角三角形,
,侧棱
底面
,且
,
是
的中点.
(1)求直三棱柱的全面积;
(2)求异面直线与
所成角
的大小(结果用反三角函数表示);
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【题目】设数列和
的项数均为
,则将两个数列的偏差距离定义为
,其中
.
(1)求数列1,2,7,8和数列2,3,5,6的偏差距离;
(2)设为满足递推关系
的所有数列
的集合,
和
为
中的两个元素,且项数均为
,若
,
,
和
的偏差距离小于2020,求
最大值;
(3)记是所有7项数列
或
的集合,
,且
中任何两个元素的偏差距离大于或等于3,证明:
中的元素个数小于或等于16.
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【题目】实数a,b满足ab>0且a≠b,由a、b、、
按一定顺序构成的数列( )
A. 可能是等差数列,也可能是等比数列
B. 可能是等差数列,但不可能是等比数列
C. 不可能是等差数列,但可能是等比数列
D. 不可能是等差数列,也不可能是等比数列
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【题目】已知数列{an}是以d为公差的等差数列,{bn}数列是以q为公比的等比数列.
(1)若数列{bn}的前n项和为Sn,且a1=b1=d=2,S3<a1003+5b2﹣2010,求整数q的值;
(2)在(1)的条件下,试问数列中是否存在一项bk,使得bk恰好可以表示为该数列中连续p(p∈N,p≥2)项的和?请说明理由;
(3)若b1=ar,b2=as≠ar,b3=at(其中t>s>r,且(s﹣r)是(t﹣r)的约数),求证:数列{bn}中每一项都是数列{an}中的项.
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【题目】如图,空间几何体由两部分构成,上部是一个底面半径为1,高为2的圆锥,下部是一个底面半径为1,高为2的圆柱,圆锥和圆柱的轴在同一直线上,圆锥的下底面与圆柱的上底面重合,点是圆锥的顶点,
是圆柱下底面的一条直径,
、
是圆柱的两条母线,
是弧
的中点.
(1)求异面直线与
所成的角的大小;
(2)求点到平面
的距离.
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【题目】已知曲线,对坐标平面上任意一点
,定义
,若两点
,
,满足
,称点
,
在曲线
同侧;
,称点
,
在曲线
两侧.
(1)直线过原点,线段
上所有点都在直线
同侧,其中
,
,求直线
的倾斜角的取值范围;
(2)已知曲线,
为坐标原点,求点集
的面积;
(3)记到点与到
轴距离和为
的点的轨迹为曲线
,曲线
,若曲线
上总存在两点
,
在曲线
两侧,求曲线
的方程与实数
的取值范围.
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