Question

【题目】已知曲线，对坐标平面上任意一点,定义,若两点,，满足，称点,在曲线同侧；，称点,在曲线两侧.

(1)直线过原点，线段上所有点都在直线同侧，其中，,求直线的倾斜角的取值范围；

(2)已知曲线，为坐标原点，求点集的面积；

(3)记到点与到轴距离和为的点的轨迹为曲线，曲线，若曲线上总存在两点,在曲线两侧,求曲线的方程与实数的取值范围.

Answer 1

【答案】(1)；(2)；（3），.

【解析】

（1）由题意设出直线方程为，通过新定义，得到，求出斜率范围，进而可求出倾斜角范围；

（2）先由题意得到点集为圆在直线下方内部，设直线与圆的交点为，求出，进而可求出结果；

（3）先设曲线上的动点为，根据题意得到，化简整理，即可得出轨迹方程；再由新定义，将化为，进而可得出结果.

（1）由题意，显然直线斜率存在，设方程为，则，

因为，，线段上所有点都在直线同侧，

则，

解得；故倾斜角的范围是；

（2）因为，所以，

故，点集为圆在直线下方内部，

设直线与圆的交点为，则到的距离为，

故，

因此，所求面积为：；

（3）设曲线上的动点为，则，

化简得曲线的方程为：，

其轨迹为两段抛物线弧；

当时，；

当时，，

故若有，

则，解得.