Question

【题目】已知函数f(x)＝(2x－4)ex＋a(x＋2)2(x>0，a∈R，e是自然对数的底数)．

(1)若f(x)是(0，＋∞)上的单调递增函数，求实数a的取值范围；

(2)当a∈时，证明：函数f(x)有最小值，并求函数f(x)的最小值的取值范围．

Answer 1

【答案】（1） （2）(－2e，－2)．

【解析】试题分析：（1）由题意得当x>0时，函数f′(x)≥0恒成立，再分离变量法转化为对应函数最值，根据导数求对应函数单调性，进而确定最值，得实数a的取值范围；（2）先研究导函数单调性，再根据零点存在定理得导函数有唯一一个零点，即为函数极小值点，也是最小值点，最后利用导数研究最小值函数单调性，即得最小值取值范围

试题解析：(1)f′(x)＝2ex＋(2x－4)ex＋2a(x＋2)＝(2x－2)ex＋2a(x＋2)，依题意，当x>0时，函数f′(x)≥0恒成立，即a≥－恒成立，记g(x)＝－，则g′(x)＝－

＝－<0，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以g(x)<g(0)＝，所以a≥.

故a的取值范围为.

(2)因为[f′(x)]′＝2xex＋2a>0，所以y＝f′(x)是(0，＋∞)上的增函数，又f′(0)＝4a－2<0，f′(1)＝6a>0，所以存在t∈(0,1)使得f′(t)＝0，

又当x∈(0，t)时，f′(x)<0，当x∈(t，＋∞)时，f′(x)>0，

所以当x＝t时，f(x)min＝f(t)＝(2t－4)et＋a(t＋2)2.且有f′(t)＝0a＝－，

则f(x)min＝f(t)＝(2t－4)et－(t－1)(t＋2)et＝et(－t2＋t－2)，t∈(0,1)．

记h(t)＝et(－t2＋t－2)，则h′(t)＝et(－t2＋t－2)＋et(－2t＋1)＝et(－t2－t－1)<0，

所以h(1)<h(t)<h(0)，

即f(x)的最小值的取值范围是(－2e，－2)．