Question

【题目】在平面直角坐标系中，已知点A(－，0)，B(，0)，直线MA，MB交于点M，它们的斜率之积为常数m(m≠0)，且△MAB的面积最大值为，设动点M的轨迹为曲线E.

(1)求曲线E的方程；

(2)过曲线E外一点Q作E的两条切线l1，l2，若它们的斜率之积为－1，那么·是否为定值？若是，请求出该值；若不是，请说明理由.

Answer 1

【答案】(1) ;(2)见解析.

【解析】试题分析: (1) 设出点M的坐标,根据直线MA，MB的斜率之积为常数m(m≠0)，列出方程,去掉不合题意的点,再根据m的正负讨论曲线的类型,检验是否满足△MAB的面积最大值为;(2)设出点Q的坐标,写出过Q的切线方程与椭圆联立,消去y,得到关于x的一元二次方程,根据Δ＝0列出关于k的一元二次方程,再由切线的斜率之积为－1,化简得出Q的轨迹方程,代入求值即可.

试题解析:(1)设M(x，y)，则由已知得

·＝m，即y2＝m(x2－3)，

即－＝1(x≠±).(*)

①当m>0时，方程(*)表示双曲线，此时△MAB面积不存在最大值(不符合)；

②当m＝－1时，方程(*)表示圆，此时△MAB的面积最大值为3(不符合)；

③当m<0且m≠－1时，方程(*)为椭圆，此时△MAB的面积最大值为，所以m＝－.

此时所求的方程为.

(2)设Q(x0，y0)，过点Q的切线l为y＝k(x－x0)＋y0，

由消去y得

(1＋3k2)x2＋6k(y0－kx0)x＋3(y0－kx0)2－3＝0，

则Δ＝36k2(y0－kx0)2－4(1＋3k2)·3[(y－kx0)2－1]＝0，

化简得(3－x)k2＋2x0y0k＋1－y＝0，

于是k1·k2＝.由已知斜率之积为－1，

则＝－1，则x＋y＝4(x0≠±)，

所以·＝(－－x0，－y0)·(－x0，－y0)＝x－3＋y＝1.

点睛:第一问根据题中等式列出方程,判断m取值不同时, △MAB的面积最大值与题中条件是否符合,即可得出m值以及椭圆的方程,并挖去不合题意的点;第二问设出Q点坐标,列出过Q的切线方程,与椭圆方程联立,得出关于切线斜率的方程,求出斜率之积的表达式,得出Q点满足的方程,代入即可求出定值.