Question

【题目】已知函数．

（1）求函数在区间上的最小值；

（2）令是函数图象上任意两点，且满足求实数的取值范围；

（3）若，使成立，求实数的最大值．

Answer 1

【答案】（1）当时，；当时，.（2）（3）.

【解析】

试题分析：（1）先求导数，再求导函数零点，根据零点与定义区间位置关系分类讨论函数单调性：当时，在上单调递增，当时，在区间上为减函数，在区间上为增函数，最后根据单调性确定函数最小值（2）先转化不等式不妨取，则，即恒成立，即在上单调递增，然后利用导数研究函数单调性：在恒成立.最后利用变量分离转化为对应函数最值，求参数.（3）不等式有解问题与恒成立问题一样，先利用变量分离转化为对应函数最值，的最大值，再利用导数求函数的最值，这要用到二次求导，才可确定函数单调性：在上单调递增，进而确定函数最值

试题解析：解（1），令，则，

当时，在上单调递增，

的最小值为；

当时，在区间上为减函数，在区间上为增函数，

的最小值为.

综上，当时，；当时，.

（2）,对于任意的，不妨取，则,

则由可得，

变形得恒成立，

令，

则在上单调递增，

故在恒成立，

在恒成立.

，当且仅当时取，

.

（3），

.

，，使得成立.

令，则，

令，则由 可得或（舍）

当时，则在上单调递减；

当时，则在上单调递增.

在上恒成立.

在上单调递增.

，即.

实数的最大值为.