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【题目】已知函数其中无理数.

(Ⅰ)若函数有两个极值点的取值范围

(Ⅱ)若函数的极值点有三个最小的记为最大的记为的最大值为的最小值.

【答案】(Ⅰ)(Ⅱ).

【解析】分析:(Ⅰ)先对函数求导构造则函数有两个极值点等价于 有两个不等的正实根对函数求导然后对进行讨论可得函数的单调性,结合即可求得的取值范围;(Ⅱ)对函数求导有三个极值点有三个零点,1为一个零点,其他两个则为的零点结合(Ⅰ),可得的两个零点即为的最小和最大极值点,即,由题知,则利用导数研究函数的单调性从而可求得的最小值即的最小值.

详解:(Ⅰ)

有两个极值点

有两个不等的正实根

时,上单调递增,不符合题意.

时,当时,,当时,

上单调递减,在上单调递增.

,当时,

综上,的取值范围是

(Ⅱ)

有三个极值点

有三个零点,1为一个零点,其他两个则为的零点,由(Ⅰ).

的两个零点即为的最小和最大极值点,即.

,由题知.

,则,令,则

上单调递增

上单调递减

的最小值为

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