Question

【题目】设函数（为常数）.

（1）当时，求曲线在处的切线方程；

（2）若函数在内存在唯一极值点，求实数的取值范围，并判断是在内的极大值点还是极小值点.

Answer 1

【答案】(1) (2) ，且为函数的极小值点.

【解析】

（1）先求出函数的导函数，再求出切线的斜率，再由直线的点斜式方程求解即可；

（2）函数在内存在唯一极值点等价于方程在内存在唯一解，再构造函数，求其值域，则可得的范围，再利用导数确定是极大值点或者极小值点.

（1）当时，，，

所求切线的斜率，又.

所以曲线在处的切线方程为：.

（2），

又，则要使得在内存在唯一极值点，则在存在唯一变号零点，即方程在内存在唯一解，即与在范围内有唯一交点，

设函数，则，在单调递减，又；当时，

时，与在范围内有唯一交点，不妨设交点横坐标为，

当时， ，，则，在为减函数；当时，，则，在为增函数，即为函数的极小值点，

综上所述：，且为函数的极小值点.