Question

已知函数f（x）=

px2+2

3x+q

是奇函数，且f（2）=

5

3

（Ⅰ）求p，q的值；
（Ⅱ）判断函数f（x）在（-∞，-1）上的单调性，并应用单调性的定义加以证明．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意可得f（-x）+f（x）=0，求得q的值．再由f（2）=

5

3

=

p•22+2

6+0

，求得p的值．
（Ⅱ）由上可得，f（x）=

2

3

（x+

1

x

），函数f（x）在（-∞，-1）上是增函数，再利用函数的单调性的定义进行证明．

解答：解：（Ⅰ）由题意可得f（-x）+f（x）=0，即

px2+2

q-3x

+

px2+2

q+3x

=0，求得 q=0．
再由f（2）=

5

3

=

p•22+2

6+0

，解得 p=2．
综上可得，p=2，q=0．
（Ⅱ）由上可得，f（x）=

2x2+2

3x

=

2

3

（x+

1

x

），函数f（x）在（-∞，-1）上是增函数．
证明：设x₁＜x₂＜-1，则f（x₁）-f（x₂）=

2

3

[（x₁+

1

x1

）-（x₂+

1

x2

）]=

2

3

（x₁-x₂）（

x1•x2-1

x1•x2

）．
由题设可得 （x₁-x₂）＜0，x₁•x₂＞1，故有f（x₁）-f（x₂）＜0，
故函数f（x）在（-∞，-1）上是增函数．

点评：本题主要考查函数的奇偶性的性质应用，利用函数的单调性的定义证明函数的单调性，属于基础题．