Question

已知椭圆E的中心在坐标原点、对称轴为坐标轴，且抛物线的焦点是它的一个焦点，又点在该椭圆上．
（1）求椭圆E的方程；
（2）若斜率为直线l与椭圆E交于不同的两点B、C，当△ABC面积的最大值时，求直线l的方程．

Answer 1

解：（1）由已知抛物线的焦点为（0，-），故设椭圆方程为．
将点A（1，），代入方程得，，得a²=4或a²=1（舍）（4分）
故所求椭圆方程为（5分）
（2）设直线BC的方程为y=x+m，设B（x₁，y₁），C（x₂，y₂）
代入椭圆方程并化简得，
由△=8m²-16（m²-4）=8（8-m²）＞0可得m²＜8，①
由，
故|BC|=|x₁-x₂|=．
又点A到BC的距离为d=
故=≤×=
当且仅当2m²=16-2m²，即m=±2时取等号（满足①式），S取得最大值．
此时求直线l的方程为y=x±2．
分析：（1）求出抛物线的焦点，即得椭圆的焦点，设出椭圆方程为将点A（1，）代入，求出a，即得椭圆方程；
（2）用待定系数法设直线BC的方程为y=x+m，将其与椭圆的方程联立求同弦长BC，再求出点A到此弦的距离，将三角形的面积用参数表示出，判断出它取到最大值时的参数m的值即可得到直线l的方程
点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，解题的关键是设出直线的方程，根据直线与圆锥曲线的位置关系，将三角形的面积用参数表示出来，本题解题过程中利用判别式判断出最值取到时参数的值，这是本题中的一个难点，由于对知识掌握得不熟练，答题者可能到这里就不知道怎么来求参数的值，导致解题失败，数学学习，知识掌握得全面是灵活运用的基础．