Question

已知椭圆M的左右焦点分别为F₁（-

3

，0），F₂（

3

，0），且抛物线x²=4y的焦点为椭圆M的顶点，过点P（0，2）的直线l与椭圆交于不同的两点A、B．
（1）求椭圆M的方程；
（2）求△OAB面积的取值范围；
（3）若S_△OAB=

4

5

，是否存在大于1的常数m，使得椭圆M上存在点Q，满足

OQ

=m（

OA

+

OB

）？若存在，试求出m的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：计算题,平面向量及应用,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由抛物线的焦点即可得到b=1，由已知求得c，再由a，b，c的关系，求得a，进而得到椭圆方程；
（2）设直线l：y=kx+2，联立椭圆方程，消去y，运用韦达定理和弦长公式，和点到直线的距离公式，求得面积，再化简整理，再由基本不等式，即可得到最值，进而得到范围；
（3）由已知面积，求得k，求出两根之和，再由向量的加法，求得Q的坐标，代入椭圆方程，求出m，即可判断．

解答： 解：（1）抛物线x²=4y的焦点（0，1）为椭圆M的顶点，即有b=1，
椭圆M的左右焦点分别为F₁（-

3

，0），F₂（

3

，0），则c=

3

，则a=

1+3

=2，
则椭圆M的方程为

x2

4

+y²=1；
（2）由于过点P（0，2）的直线l与椭圆交于不同的两点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
设直线l：y=kx+2，联立椭圆方程，消去y，得（1+4k²）x²+16kx+12=0，
判别式（16k）²-48（1+4k²）＞0，解得，4k²＞3．
x₁+x₂=-

16k

1+4k2

，x₁x₂=

12

1+4k2

，
则|AB|=

1+k2

•

( 16k 1+4k2 )2- 48 1+4k2

，O到直线l的距离d=

2

1+k2

，
则△OAB面积S=

1

2

d•|AB|=

4 4k2-3

1+4k2

，
令

4k2-3

=t（t＞0），则4k²=3+t²，
即有S=

4t

4+t2

=

4

t+ 4 t

，由于t+

4

t

≥2

t• 4 t

=4，
则S∈（0，1]．即有△OAB面积的取值范围为（0，1]；
（3）由于S_△OAB=

4

5

，即有

4 4k2-3

1+4k2

=

4

5

，解得，k²=1或

19

4

，
则x₁+x₂=-

16k

1+4k2

=±

16

5

，y₁+y₂=-

16

5

+4=

4

5

，
或x₁+x₂=±

2 19

5

，y₁+y₂=

1

5

，
假设存在大于1的常数m，使得椭圆M上存在点Q，满足

OQ

=m（

OA

+

OB

）．
则设Q（x₀，y₀），即有x₀=m（x₁+x₂），y₀=m（y₁+y₂），
则有Q（±

16

5

m，

4

5

m），或Q（±

2 19

5

m，

1

5

m），
代入椭圆方程，

x02

4

+y02=1，即有

4×16

25

m2+

16

25

m2=1，求得m²=

5

16

＜1，
或

19

25

m2+

1

25

m2=1，解得，m²=

5

4

＞1，则m=

5

2

．
故存在大于1的常数m，且为

5

2

，
使得椭圆M上存在点Q，满足

OQ

=m（

OA

+

OB

）．

点评：本题考查椭圆的方程和性质，考查直线方程和椭圆方程联立，消去未知数，运用判别式大于0，韦达定理和弦长公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．