Question

已知直线l：y=x+b与圆C：x²+y²-2x+4y-4=0交于A、B两点，O为坐标原点．
（1）若b=1，求△AOB的面积；
（2）若以AB为直径的圆过圆点O，求实数b的值．

Answer 1

考点：直线与圆相交的性质

专题：直线与圆

分析：（1）b=1，利用圆心到直线的距离，圆的半径求出弦长，然后求解三角形的面积．
（2）假设垂直．将直线方程代入圆的方程，利用韦达定理，及以AB为直径的圆过原点，可得关于b的方程，即可求解，注意方程判别式的验证

解答： 解：（1）由x²+y²-2x+4y-4=0，整理得（x-1）²+（y+2）²=9．…（2分）
圆的圆心（1，-2），半径为：3，
圆心（1，-2）到l：y=x+1的距离d=

|1+2+1|

2

=2

2

，
即 弦长为：2

32-(2 2 )2

=2，原点到直线的距离为：

1

2

=

2

2

，
∴△AOB的面积为：

1

2

×2

2

×

2

2

=1．…（4分）
（2）设存在满足条件的直线l，
由

y=x+b x2+y2-2x+4y-4=0

，消去y，得2x²+（2+2b）x+b²+4b-4=0①…（6分）
设直线l和圆C的交点为A （x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁、x₂是①的两个根．
∴x₁x₂=

b2+4b-4

2

，x₁+x₂=-b-1．             ②…（8分）
由题意有：OA⊥OB，即x₁x₂+y₁y₂=0，
∴x₁x₂+（x₁+b）（x₂+b）=0，即2x₁x₂+b（x₁+x₂）+b²=0③
将②代入③得：b²+3b-4=0．                  …（12分）
解得：b=1或b=-4，
b=1时，方程为2x²+4x+1=0，判别式△=16-8＞0，满足题意
b=-4时，方程为2x²-6x-4=0，判别式△=36+32＞0，满足题意
所以满足条件的b为：b=1或b=-4．    …（14分）

点评：本题综合考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式的应用，三角形的面积的求法，圆的标准方程的求法，属于基本知识的考查与应用．