Question

已知函数f(x)=

1

3

x3+mx2，其中m为实数．
（1）函数f（x）在x=-1处的切线斜率为

1

3

，求m的值；
（2）求f（x）的单调区间；
（3）若f（x）在x=-2处取得极值，直线y=a与y=f（x）的图象有三个不同的交点，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）求出函数的导函数，由已知在x=-1处f（x）的切线斜率为

1

3

，代入可得f'（-1）=

1

3

，进一步得到m的值．
（2）利用导数f^′（x）=x²+2mx，对参数m要分m=0，m＞0，m＜0三种情况来讨论，可借助于x，f'（x），f（x）的变化情况表来解得函数的单调区间．
（3）f（x）在x=-2处取得极值，即有f'（-2）=0可得到m的值，代入函数解析式y=f（x）求得极值，由函数的图象与直线有三个不同的交点，寻求函数的极值点，得到极值，通过比较函数的极值于参数a之间的关系即可得到结论．

解答：解：（1）f'（x）=x²+2mx，f'（-1）=1-2m
由1-2m=

1

3

，解得m=

1

3

．
（2）f'（x）=x²+2mx=x（x+2m）
①当m=0时，f(x)=

1

3

x3，在（-∞，+∞）上单调递增；
②当m＞0时x变化时，f'（x），f（x）的变化状态如下表：

x	（-∞，-2m）	-2m	（-2m，0）	0	（0，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	递增	极大值	递减	极小值	递增

函数f（x）的单调递增区间是（-∞，-2m）和（0，+∞），单调递减区间是（-2m，0）．
当m＜0时x变化时，f'（x），f（x）的变化状态如下表：

x	（-∞，0）	0	（0，-2m）	-2m	（-2m，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	递增	极大值	递减	极小值	递增

函数f（x）的单调递增区间是（-∞，0）和（-2m，+∞），单调递减区间是（0，-2m）．
综上：当m=0时，f（x）的单调递增区间是（-∞，+∞）；
当m＞0时，f（x）的单调递增区间是（-∞，-2m）和（0，+∞），单调递减区间是（-2m，0）；
当m＜0时，f（x）的单调递增区间是（-∞，0）和（-2m，+∞），单调递减区间是（0，-2m）．
（3）由题意f'（-2）=0，解得m=1．
所以，f(x)=

1

3

x3+x2
由（2）知f（x）在区间（-∞，-2）上递增，在（-2，0）上递减，（0，+∞）上递增
所以f(x)极大=f(-2)=

4

3

，f（x）_极小=f（0）=0，
要使直线y=a与y=f（x）的图象有三个不同的交点
只需，0＜a＜

4

3

．

点评：本题考查函数的导数以及导数的几何意义，利用导数求解函数的单调性和极值问题，考查了二次函数的性质，综合考查了函数与方程的思想，转化与化归的思想，以及分类讨论等数学思想，在求含参数的函数的单调区间时对学生的能力有较高的要求．