Question

（2012•贵州模拟）椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F₁（-1，0）、F₂（1，0），O是坐标原点，C的右顶点和上顶点分别为A、B，且△AOB的面积为

5

．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点P（4，0）作与x轴不重合的直线l与C交于相异两点M、N，交y轴于Q点，证明

|PQ|

|PM|

+

|PQ|

|PN|

为定值，并求这个定值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用椭圆的左、右焦点分别为F₁（-1，0）、F₂（1，0），O是坐标原点，C的右顶点和上顶点分别为A、B，且△AOB的面积为

5

，建立方程组，即可求得椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线l的方程，代入椭圆方程，可得一元二次方程，利用韦达定理，及三角形的相似比

|PQ|

|PM|

+

|PQ|

|PN|

，即可证得结论．

解答：（Ⅰ）解：依题意得

a2-b2 =1 1 2 ab= 5

…（3分）
解得

a2=5 b2=4

，故椭圆C的方程为

x2

5

+

y2

4

=1．                          …（5分）
（Ⅱ）证明：依题意可设直线l的方程为x=ky+4…（6分）
由

x=ky+4 4x2+5y2=20

，消去x可得（4k²+5）y²+32ky+44=0
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），Q（0，y₃），则

y1+y2= -32k 4k2+5 y1y2= 44 4k2+5

…（8分）
又由直线l的方程x=ky+4知y3=-

4

k

由三角形的相似比得

|PQ|

|PM|

+

|PQ|

|PN|

=

|y3|

|y1|

+

|y3|

|y2|

=

|y3|(|y1|+|y2|)

|y1y2|

注意到y₁y₂＞0，
∴|y₁|+|y₂|=|y₁+y₂|
∴

|PQ|

|PM|

+

|PQ|

|PN|

=

|y3|×|y1+y2|

|y1y2|

=

4

|k|

×

32|k| 4k2+5

44 4k2+5

=

32

11

故

|PQ|

|PM|

+

|PQ|

|PN|

为定值

32

11

．                                           …（12分）

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，联立方程，正确表示比值是关键．