Question

（2012•临沂二模）如图，椭圆C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

2

2

，x轴被曲线C₂：y=x²-b截得的线段长等于C₁的短轴长．
（Ⅰ）求C₁、C₂的方程；
（Ⅱ）设C₂与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l与C₂相交于点A、B，直线MA、MB分别与C₁相交于点D、E．
（ⅰ）证明：MD⊥ME．
（ⅱ）记△MAB、△MDE的面积分别为S₁、S₂，若

S1

S2

=λ，求λ的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用椭圆C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

2

2

，x轴被曲线C₂：y=x²-b截得的线段长等于C₁的短轴长，建立方程；
（Ⅱ）（ⅰ）设直线l的方程为y=kx与y=x²-1联立得x²-kx-1=0，利用韦达定理表示出k_MA×k_MB，即可证得结论；
（ⅱ）设直线MA、MB的方程与y=x²-1联立，求得A，B的坐标，进而可表示S₁，直线MA、MB的方程与椭圆方程联立，求得D，E的坐标，进而可表示S₂，从而可得λ=

S1

S2

，利用基本不等式，即可确定λ的取值范围．

解答：（Ⅰ）解：由题意，

c

a

=

2

2

，∴a²=2b²
令x²-b=0可得x=±

b

，∴2

b

=2b，∴b=1，∴a²=2
∴C₁、C₂的方程分别为

x2

2

+y2=1，y=x²-1；
（Ⅱ）证明：设直线l的斜率为k，方程为y=kx与y=x²-1联立得x²-kx-1=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁，x₂是上述方程的两个实根
∴x₁+x₂=k，x₁x₂=-1
∵M（0，-1），∴k_MA×k_MB=

y1+1

x1

×

y2+1

x2

=

(kx1+1)(kx2+1)

x1x2

=

-k2+k2+1

-1

=-1
∴MA⊥MB，即MD⊥ME；
（ⅱ）解：设直线MA的斜率为k₁，直线MA的方程为y=k₁x-1与y=x²-1联立得x²-k₁x=0
∴x=0或x=k₁，∴A（k1，k12-1）
同理可得B（-

1

k1

，

1

k12

-1）
∴S₁=

1

2

|MA||MB|=

1

2

1+k12

|k1|×

1+ 1 k12

|-

1

k1

|=

1+k12

2|k1|

y=k₁x-1与椭圆方程联立，可得（1+2k12）x-4k₁x=0
∵x=0或x=

4k1

1+2k12

，∴D（

4k1

1+2k12

，

2k12-1

1+2k12

）
同理可得E（

-4k1

k12+2

，

2-k12

k12+2

）
∴S2=

1

2

|MD||ME|=

8|k1|(k12+1)

(1+2k12)(k12+2)

∴λ=

S1

S2

=

1

16

(1+2k12)(1+

2

k12

)=

1

16

(5+2k12+

2

k12

)≥

1

16

(5+2×2)=

9

16

当且仅当k₁=1时取等号
∴λ的取值范围是[

9

16

，+∞）．

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与抛物线、椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，联立方程，确定点的坐标是关键．