Question

设

b

是定义在R上的奇函数，且对任意实数x恒有f（x+2）=-f（x），当x∈[0，2]时，f（x）=2x-x²
（1）求证：f（x）是周期函数；
（2）当x∈[2，4]时，求f（x）的解析式；
（3）计算：f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2004）．

Answer 1

考点：函数的周期性,函数解析式的求解及常用方法

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由已知f（x+2）=-f（x），取x=x+2证得结论；
（2）求出x∈[-2，0]时的函数解析式，又当x∈[2，4]时，x-4∈[-2，0]，再结合周期函数求得x∈[2，4]时的函数解析式；
（3）求出f（0）=0，f（2）=0，f（1）=1，f（3）=-1，利用周期性得答案．

解答： （1）证明：∵f（x+2）=-f（x），
∴f（x+4）=-f（x+2）=f（x），
∴f（x）是周期为4的周期函数；
（2）解：当x∈[-2，0]时，-x∈[0，2]，
由已知得f（-x）=2（-x）-（-x）²=-2x-x²，
又f（x）是奇函数，
∴f（-x）=-f（x）=-2x-x²，
∴f（x）=x²+2x，
又当x∈[2，4]时，x-4∈[-2，0]，
∴f（x-4）=（x-4）²+2（x-4），
又f（x）是周期为4的周期函数，
∴f（x）=f（x-4）=（x-4）²+2（x-4）=x²-6x+8，
从而求得x∈[2，4]时，f（x）=x²-6x+8；
（3）解：f（0）=0，f（2）=0，f（1）=1，f（3）=-1，
又f（x）是周期为4的周期函数，
∴f（0）+f（1）+f（2）+f（3）=f（4）+f（5）+f（6）+f（7）
=…=f（2 000）+f（2 001）+f（2 002）+f（2 003）=0．
∴f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2 004）=0+f（2004）=0．

点评：本题考查了函数解析式的求解及常用方法，考查了函数的性质，考查了学生的灵活思维能力和抽象思维能力，是难题．