Question

二次函数y=-

5

4

x²-

17

4

x+1与直线y=-

1

2

x+1相交于A、B两点，A点在y轴上，点N是二次函数图象上一点（点N在AB上方），连接AN、BN，求△ABN的最大面积．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：本题可以先用二次函数y=-

5

4

x²-

17

4

x+1与直线y=-

1

2

x+1联列方程组，求出交点A、B的坐标，再将直线y=-

1

2

x+1平移至与二次函数y=-

5

4

x²-

17

4

x+1的图象相切，得到直线l′，求出直线l′的方程，再利用距离公式求出直线y=-

1

2

x+1与直线l′：y=-

1

2

x+

61

16

的距离，得到三角形的高的最大值，从而求出△ABN的最大面积，得到本题结论．

解答： 解：∵二次函数y=-

5

4

x²-

17

4

x+1与直线y=-

1

2

x+1相交于A、B两点，
∴-

5

4

x²-

17

4

x+1=-

1

2

x+1，即x²+3x=0，
∴

x=-3 y= 5 2

或

x=0 y=1

，
∴A（-3，

5

2

），B（0，1），
∴|AB|=

(-3-0)2+( 5 2 -1)2

=

3

2

5

．
将直线y=-

1

2

x+1平移至与二次函数y=-

5

4

x²-

17

4

x+1的图象相切，得到直线l′，
设直线l′的方程为：y=-

1

2

x+m，
∴5x²+15x+4m-4=0，
根的判别式△=0，
∴15²-4×5×（4m-4）=0，
∴m=

61

16

，
∴直线l′的方程为：y=-

1

2

x+

61

16

，
∴直线y=-

1

2

x+1与直线l′：y=-

1

2

x+

61

16

的距离为：
d=

|-2+ 61 8 |

12+22

=

9 5

8

．
S_△ABN=

1

2

×

3

2

5

×

9

8

5

=

135

32

．
∴△ABN的最大面积为：

135

32

．

点评：本题考查了直线与抛物线的位置关系、弦长公式、直线与抛物线相切，本题难度不大，属于基础题．