Question

如图，已知四棱锥的底面的菱形，，点是边的中点，交于点，

（1）求证：；
（2）若的大小；
（3）在（2）的条件下，求异面直线与所成角的余弦值。

Answer 1

（1）（2）（3） 

试题分析：（1）因为平面，所以是 在平面 内的射影，要证 ，只要证，连结，由题设易知三角形为正三角形，而是其边 上的中线，所以.
（2）由（1）知， ,而且 ，可以发现为二面角的平面角，再利用直角姑角形求其大小；
（3）取 中点 ，连结易证 ， 与 所成的角就是 与 的成的角；先利用勾股定理求出,再用余弦定理求解.
试题解析：解答一：（1）在菱形中，连接则是等边三角形。
点是边的中点

平面
是斜线在底面内的射影


（2）
菱形中,

又平面,是在平面内的射影

为二面角的平面角
在菱形中,，由（1）知，等边三角形
点是边的中点，与互相平分
点是的重心

又在等边三角形中，



所以在中，

二面角的大小为.
(3)取中点，连结，
则
与所成角与所成角
连结
平面,、平面

在中,

在中,
在中,
由（2）可知，
设与所成的角为
则
所以异面直线、所成角的余弦值为

解法二：（1）同解法一；
（2）过点作平行线交于,以点为坐标原点,建立如图的坐标系


设平面的一个法向量为
则,即
不妨设


二面角的大小为
（3）由已知，可得点

即异面直线所成角的余弦值为