Question

如图，已知椭圆，直线的方程为，过右焦点的直线与椭圆交于异于左顶点的两点，直线，交直线分别于点，．
（1）当时，求此时直线的方程；
（2）试问，两点的纵坐标之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

Answer 1

（1）；（2），两点的纵坐标之积为定值.

试题分析：（1）讨论①当直线的斜率不存在时，确定得到，又
 不满足；
②当直线的斜率存在时，设方程为
代入椭圆得；
应用韦达定理研究，解得 求得直线的方程；
（2）的方程为与的方程：联立
确定 同理得，
从而.
讨论不存在、存在的两种情况，得出结论.
（1）①当直线的斜率不存在时，由可知方程为
代入椭圆得又
 不满足              2分
②当直线的斜率存在时，设方程为
代入椭圆得          3分
设得          4分


 故直线的方程；                   6分
（2）的方程为与的方程：联立
得： 同理得                   8分

①不存在时，                  9分
②存在时，               12分
，两点的纵坐标之积为定值                           13分