Question

已知函数f（x）=2sin（ωx-

π

6

）sin（ωx+

π

3

）（ω＞0）的最小正周期为π
（1）若x∈[

π

8

，

5π

12

]，求函数f（x）的最小值；
（2）在△ABC中，若A＜B，且f（A）=f（B）=

1

2

，求

BC

AB

的值．

Answer 1

分析：（1）根据（ωx-

π

6

）+（ωx-

π

6

）=

π

2

，把sin（ωx+

π

3

）利用诱导公式变形后，根据二倍角的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由函数的最小正周期，根据周期公式求出ω，从而确定出f（x）的解析式，由x的范围，求出这个角的范围，根据正弦函数的单调性即可表示出f（x）的最小值，利用两角差的正弦函数公式及特殊角的三角形函数值即可求出；
（2）根据f（A）=f（B）=

1

2

，分别将A和B代入f（x）的解析式，根据A小于B及特殊角的三角函数值即可求出A和B的度数，利用三角形的内角和定理求出C的度数，根据正弦定理得到所求式子等于sinA与sinC之比，利用特殊角的三角函数值即可求出之比，即为所求式子的值．

解答：解：（1）f（x）=2sin（ωx-

π

6

）sin（ωx+

π

3

）=2sin（ωx-

π

6

）sin[（ωx-

π

6

）+

π

2

]
=2sin（ωx-

π

6

）cos（ωx-

π

6

）=sin（2ωx-

π

3

），
∵T=π，∴ω=1，
∴f（x）=sin（2x-

π

3

），
∵x∈[

π

8

，

5π

12

]，∴2x-

π

3

∈[-

π

12

，

π

2

]，
根据正弦函数在此区间单调递增，
得到：f（x）_min=sin（-

π

12

）=sin（

π

4

-

π

3

）
=sin

π

4

cos

π

3

-cos

π

4

sin

π

3

=

2

2

×

1

2

-

2

2

×

3

2

=

2 - 6

4

；
（2）由f（A）=f（B）=

1

2

得：sin（2A-

π

3

）=sin（2B-

π

3

）=

1

2

，
∵A＜B，∴A=

π

4

，B=

7π

12

，则C=

π

6

，
∴

BC

AB

=

sinA

sinC

=

sin π 4

sin π 6

=

2

．

点评：此题考查了三角函数的恒等变换，正弦定理，以及正弦函数的单调性．由诱导公式将f（x）的解析式变形，根据周期公式确定出ω，进而确定出（x）的解析式是本题的突破点，同时要求学生掌握正弦函数的单调性，两角和与差的正弦函数公式，牢记特殊角的三角函数值．