Question

(本小题13分)曲线上任意一点M满足, 其中F(-F( 抛物线的焦点是直线y＝x－1与x轴的交点, 顶点为原点O.
（1）求，的标准方程；
（2）请问是否存在直线满足条件：①过的焦点；②与交于不同
两点，，且满足？若存在，求出直线的方程；若不
存在，说明理由．

Answer 1

(1) 的方程为：， 的方程为：。
（2）存在直线满足条件，且的方程为或．

试题分析：（1）由题意结合椭圆的定义和抛物线的焦点坐标，得到关系式。
（2）假设存在这样的直线，设其方程为，联立方程组，结合韦达定理和向量数量积得到。
解：(1) 的方程为：， 的方程为：。
（2）假设存在这样的直线，设其方程为，两交点坐标为，
由消去，得，
     ①

，②
，③
将①②代入③得，解得
所以假设成立，即存在直线满足条件，且的方程为或．
点评：解决该试题的关键是能利用图像变换准确得到曲线的方程然后利用向量的数量积来求解得到参数的值。