【题目】已知函数.
(1)若函数在
处取得极值,求曲线
在点
处的切线方程;
(2)讨论函数的单调性;
(3)设,若
对
恒成立,求实数
的取值范围.
【答案】(1);(2)当
时,
在
上单调递增,当
时,
在
和
上单调递增,在
上单调递减,当
时,
在
上单调递减,
上单调递增;(3)
.
【解析】
试题分析:(1)先求,得
即为切线斜率,利用点斜式求解;(2)求出
的导数,通过讨论
的范围,确实导函数的符号, 从而求出函数的单调区间;(3)问题转化为
对
恒成立, 令
,通过讨论函数
的单调性得到其最小值, 解关于
的不等式即可求出
的范围.
试题解析:(1)由,
,得
或
(舍去)
经检验,当时,函数
在
处取得极值.
时,
,
则,
所以所求的切线方式为,整理得
.
(2)定义域为
,
令,得
或
∵,则
,且
①当时,
,
,此时
在
上单调递增;
②当时,
在
和
上单调递增,在
上单调递减;
③当时,
在
上单调递减,
上单调递增.
(3)由题意,,
即,即
对任意
恒成立,
令,则
,
令,得
,即
在
上单调递减,
上单调递增,
当时
取得最小值
∴,解得
又∵,所以
的取值范围为
.
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【题目】设集合A={x|x2-3x<0},B={x|-2≤x≤2},则A∩B=( )
A. {x|2≤x<3} B. {x|-2≤x<0}
C. {x|0<x≤2} D. {x|-2≤x<3}
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【题目】我国是世界上严重缺水的国家,某市为了制定合理的节水方案,对居民用水情况进行了调查,通过抽样,获得了某年位居民每人的月均用水量(单位:吨),将数据按照
分成
组,制成了如图所示的频率分布直方图.
(1)求直方图中的值;
(2)设该市有万居民,估计全市居民中月均用水量不低于
吨的人数.说明理由;
(3)估计居民月均用水量的中位数.
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【题目】在直角坐标系中,以原点
为极点,以
轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线
的极坐标方程为
.
(1)求曲线的直角坐标方程并指出其形状;
(2)设是曲线
上的动点,求
的取值范围.
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【题目】若P(2,-1)为圆(x-1)2+y2=25的弦AB的中点,则直线AB的方程是 ( )
A. x-y-3=0 B. 2x+y-3=0 C. x+y-1=0 D. 2x-y-5=0
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【题目】一个盒子中装有红、黄、蓝三种颜色的球各5个,从中任取3个球.事件甲:3个球都不是红球;事件乙:3个球不都是红球;事件丙:3个球都是红球;事件丁:3个球中至少有1个红球,则下列选项中两个事件互斥而不对立的是( )
A. 甲和乙 B. 甲和丙 C. 乙和丙 D. 乙和丁
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【题目】如图是一块镀锌铁皮的边角料,其中
都是线段,曲线段
是抛物线的一部分,且点
是该抛物线的顶点,
所在直线是该抛物线的对称轴. 经测量,
2米,
米,
,点
到
的距离
的长均为1米.现要用这块边角料裁一个矩形
(其中点
在曲线段
或线段
上,点
在线段
上,点
在线段
上). 设
的长为
米,矩形
的面积为
平方米.
(1)将表示为
的函数;
(2)当为多少米时,
取得最大值,最大值是多少?
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