Question

已知圆C：x²+y²-2x+4y+2=0，是否存在满足以下两个条件的直线l：
（1）斜率为1；
（2）直线被圆C截得的弦为AB，以AB为直径的圆C₁过原点．若存在这样的直线，请求出其方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：设直线l存在，其方程为y=x+b，它与圆C的交点设为A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），由

x2+y2-2x+4y+2=0 y=x+b

，得2x²+2（b+1）x+b²+4b+2=0，由OA⊥OB，得x₁x₂+y₁y₂=0，由此利用韦达定理能推导出存在这样的直线l，并能求出其方程．

解答：（本小题满分15分）
解：设直线l存在，其方程为y=x+b，它与圆C的交点设为A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）（2分）
则由

x2+y2-2x+4y+2=0 y=x+b

，
得2x²+2（b+1）x+b²+4b+2=0（*）（4分）
∴

x1+x2=-(b+1) x1•x2= b2+4b+2 2

（6分）
∴y₁y₂=（x₁+b）（x₂+b）=x1x2+b(x1+x2)+b2（8分）
由OA⊥OB得x₁x₂+y₁y₂=0，（10分）
∴2x1x2+b(x1+x2)+b2=0，（11分）
即b²+4b+2-b（b+1）+b²=0，b²+3b+2=0，
∴b=-1或b=-2（13分）
容易验证b=-1或b=-2时方程（*）有实根．（14分）
故存在这样的直线l有两条，其方程是y=x-1或y=x-2．（15分）

点评：本题考查直线方程的求法，具体涉及到直线方程的性质、圆的简单性质、韦达定理等基本知识点，解题时要认真审题，注意合理地进行等价转化．