Question

在正三棱锥A-BCD中，E，F分别是AB，BC的中点，EF⊥DE，且BC=1，则点A到平面BCD的距离为

6

6

．

Answer 1

分析：利用等边三角形的性质可得BO，DF．利用中线长定理可得DE，再利用勾股定理可得DF²=DE²+EF²，
AO²=AB²-BO²，即可得出．

解答：解：如图所示，作AO⊥平面BCD，则点O为底面BCD的中心．
∵△BCD是边长为1的等边三角形，
∴BO=

2

3

×

3

2

=

3

3

，DF=

3

2

．
设AB=2x，利用中线长定理可得DE2=

1

2

(AD2+BD2-

AB2

2

)=

1

2

(1+2x2)．
∵EF⊥DE，∴EF²+DE²=DF²．
∵EF=

1

2

AC=x，∴x2+

1

2

(1+2x2)=(

3

2

)2，化为4x2=

1

2

．
∵AO⊥平面BCD，∴AO⊥BO．
∴AO=

AB2-BO2

=

(2x)2-( 3 3 )2

=

1 2 - 1 3

=

6

6

．
故答案为

6

6

．

点评：熟练掌握等边三角形的性质、中线长定理、中位线定理、勾股定理等是解题的关键．