Question

如图，正三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，D、E分别是BC、CC₁的中点，AB＝AA₁．

(1)求二面角B－AD－B₁的正切值；

(2)证明：BE⊥平面AB₁D；

(3)求异面直线DE与A₁B₁所成角的大小．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)在正三棱柱ABC－A1B1C1中，∵BD＝DC，∴AD⊥BC， 　　又B1B⊥底面ABC， 　　由三垂线定理，知AD⊥DB1　　∴∠B1DB就是二面角B－AD－B1的平面角，在Rt△B1BD中，tan∠B1DB＝＝2，即二面角B－AD－B1的正切值为2　　(4分); 　　(2)∵下面BCC1B1为正方形，CE＝EC1，BD＝DE，∴BE⊥DB1　　(6分) 　　又AD⊥侧面BCC1B1，∴AD⊥BE，∴BE⊥平面AB1D　　(8分) 　　(3)取AC中点F，连FD，EF，∵A1B1∥AB∥DF， 　　∴∠EDF就是DE与A1B1所成的角． 　　设正三棱柱的各棱长均为2，则DE＝， 　　即DE与A1B1所成的角为　　(12分)