Question

（2013•郑州二模）如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱长都为2，D为CC₁中点．
（Ⅰ）求证：AB₁⊥面A₁BD；
（Ⅱ）设点O为AB₁上的动点，当OD∥平面ABC时，求

AO

OB1

的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由三棱柱ABC-A₁B₁C₁为正三棱柱，取BC边的中点M，连结AM，可证AM垂直于底面，从而得到AM垂直于BD，在正方形BB₁C₁C中，通过直角三角形角的关系可证BD⊥B₁M，利用线面垂直的判定定理得到要证的结论；
（Ⅱ）取AA₁的中点为N，连结ND，OD，ON．利用线面平行的判定定理证明线面平行，从而得到面面平行，再借助于两面平行的性质得到线线平行，根据N点是AA₁的中点，得到O为AB₁的中点，即

AO

OB1

=1．

解答：（Ⅰ）证明：取BC中点为M，连结AM，B₁M，
在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，面ABC⊥面CB₁，△ABC为正三角形，
所以AM⊥BC，
故AM⊥平面CB₁，又BD?平面CB₁，
所以AM⊥BD．
又正方形BCC₁B₁中，tan∠BB1M=tan∠CBD=

1

2

，
所以∠BB₁M=∠CBD，
所以BD⊥B₁M，又B₁M∩AM=M，
所以BD⊥平面AB₁M，故AB₁⊥BD，
又正方形BAA₁B₁中，AB₁⊥A₁B，A₁B∩BD=B，
所以AB₁⊥面A₁BD；
（Ⅱ）取AA₁的中点为N，连结ND，OD，ON．
因为N，D分别为AA₁，CC₁的中点，所以ND∥平面ABC，
又OD∥平面ABC，ND∩OD=D，所以平面NOD∥平面ABC，
所以ON∥平面ABC，又ON?平面BAA₁B₁，平面BAA₁B₁∩平面ABC=AB，
所以ON∥AB，注意到AB∥A₁B₁，所以ON∥A₁B₁，又N为AA₁的中点，
所以O为AB₁的中点，即

AO

OB1

=1为所求．

点评：本题考查了直线与平面垂直的判定，考查了直线与平面平行的判定，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力，是中档题．