Question

10．设S_n是数列{a_n}的前n项和，且a₁=$\frac{1}{2}$，点（n，2a_n+1-a_n）（n∈N⁺）在直线y=x上，令b_n=a_n+1-a_n-1，求a_n，b_n，S_n．

Answer 1

分析 依题意，知2a_n+1-a_n=n，2a_n-a_n-1=n-1（n≥2），两式相减可得2（a_n+1-a_n-1）=a_n-a_n-1-1（n≥2），令b_n=a_n+1-a_n-1，易证数列{b_n}是公比为$\frac{1}{2}$等比数列，易求b₁=a₂-a₁-1=-$\frac{3}{4}$，从而可求得b_n，再利用等比数列的求和公式及累加法可求得a_n；最后利用分组求和法可得S_n．

解答 解：∵点（n，2a_n+1-a_n）（n∈N⁺）在直线y=x上，
∴2a_n+1-a_n=n，
∴2a_n-a_n-1=n-1（n≥2），
两式相减得：2（a_n+1-a_n）-（a_n-a_n-1）=1（n≥2），
即2（a_n+1-a_n-1）=a_n-a_n-1-1（n≥2），
又b_n=a_n+1-a_n-1，
∴b_n=$\frac{1}{2}$b_n-1（n≥2），
∴数列{b_n}是公比为$\frac{1}{2}$等比数列，又a₁=$\frac{1}{2}$，2a₂-a₁=1，故a₂=$\frac{3}{4}$，所以b₁=a₂-a₁-1=-$\frac{3}{4}$，
∴b_n=（-$\frac{3}{4}$）×$（\frac{1}{2}）^{{n}^{-1}}$；
∴b₁+b₂+…+b_n-1=[（a₂-a₁-1）+（a₃-a₂-1）+…+（a_n-a_n-1-1）]=a_n-a₁-（n-1）=$\frac{-\frac{3}{4}（1-{（\frac{1}{2}）}^{n-1}）}{1-\frac{1}{2}}$=-$\frac{3}{2}$+3×$（\frac{1}{2}）^{n}$，
∴a_n=（n-2）+3×$（\frac{1}{2}）^{n}$，
∴S_n=a₁+a₂+…+a_n=[（-1+0+1+…+（n-2）]+3[$\frac{1}{2}$+$（\frac{1}{2}）^{2}$+…+${（\frac{1}{2}）}^{n}$]=$\frac{（n-3）n}{2}$+3×$\frac{\frac{1}{2}（1-{（\frac{1}{2}）}^{n}）}{1-\frac{1}{2}}$=$\frac{{n}^{2}-3n+6}{2}$-3×$（\frac{1}{2}）^{n}$．

点评 本题考查递推数列的关系式的应用，考查等比关系的确定是关键，突出考查累加法与分组求和，考查等价转化思想与综合运算能力，属于难题．