Question

2．如图，三棱锥A-BCD中，AB=BC=CD=DA=BD=AC=2a，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点．
（1）证明四边形EFGH是四边形
（2）求多面体BD-EFGH的体积．

Answer 1

分析 （1）在△ABC中，E、F分别是边AB、BC中点，得到EF∥AC，且EF=$\frac{1}{2}$AC，GH∥AC，且GH=$\frac{1}{2}$AC，得到四边形EFGH是平行四边形．
（2）求出三棱锥的体积，由对称性易知平面EFGH将正四面体两等分，即可得出结论．

解答 （1）证明：在△ABC中，E、F分别是边AB、BC中点，
所以EF∥AC，且EF=$\frac{1}{2}$AC，
同理有GH∥AC，且GH=$\frac{1}{2}$AC，
∴EF∥GH且EF=GH，
故四边形EFGH是平行四边形．
（2）解：显然这个三棱锥是正四面体，高为$\sqrt{（2a）^{2}-（\frac{2\sqrt{3}}{3}a）^{2}}$=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$a，其体积为V=$\frac{1}{3}•\frac{\sqrt{3}}{4}•4{a}^{2}•\frac{2\sqrt{6}}{3}a$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}{a}^{3}$，
∵AB=BC=CD=DA=BD=AC=2a，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，
∴四边形EFGH为正方形．
由对称性易知平面EFGH将正四面体两等分，
∴多面体BD-EFGH的体积为$\frac{\sqrt{2}}{3}{a}^{3}$．

点评 主要考查知识点：简单几何体和公理四，多面体BD-EFGH的体积．公理四：和同一条直线平行的直线平行．