Question

已知函数f(x2-1)=logm

x2

2-x2

(m＞0，m≠1)．
（1）试判断f（x）的奇偶性；
（2）解关于x的方程f(x)=logm

1

x

．

Answer 1

分析：（1）由已知中函数f(x2-1)=logm

x2

2-x2

（m＞0且m≠1），令t=x²-1，利用换元法，易求出f（x）的表达式，进而根据使函数解析式有意义的原则，构造关于x的不等式，解不等式即可求出函数的定义域，判断f（-x）与f（x）的关系，然后根据函数奇偶性的定义，即可判断出函数的奇偶性；
（2）由（1）得出函数f（x）的解析式，再将所要求解的对数方程去掉对数符号，转化成关于x的分式方程求解即得．

解答：解：（1）令t=x²-1（t≥-1）
则x²=t+1
∵f(x2-1)=logm

x2

2-x2

∴f(t)=logm

t+1

2-(t+1)

=logm

1+t

1-t

∴f(x)=logm

1+x

1-x

要使函数的解析式有意义，自变量x须满足：-1＜x＜1
故函数f（x）的定义域为（-1，1）
又∵f(-x)=logm

1-x

1+x

=-f（x）
故函数为奇函数
（2）由（1）得：
f(x)=logm

1+x

1-x

，
故原方程化为：logm

1+x

1-x

=logm

1

x

，
得：

1+x

1-x

=

1

x

，
解得：x=-1+

2

，或x=-1-

2

（负值舍去）
故方程的解是x=

2

-1．

点评：本题考查的知识点是对数函数图象与性质的综合应用，函数的解析式，函数的定义域，函数的奇偶性，函数的单调性判断及其证明，反函数，是函数问题比较综合的考查，有一定的难度，其中熟练掌握指数函数和对数函数的性质是解答本题的关键．