Question

已知函数f(x2-1)=logm

x2

2-x2

，其中m＞1．
（1）判断并证明f（x）的奇偶性；
（2）解关于x的不等式f(x)≥f(1-

2

2+3x

)．

Answer 1

分析：（1）令t=x²-1，可得f（t）=logm

t+1

2-(t+1)

=logm

t+1

1-t

．故有f（x）=logm

x+1

1-x

．再根据f（x）的定义域为（-1，1）．f（-x）=-f（x），可得函数f（x）为奇函数．
（2）由于函数f（x）=logm

x+1

1-x

在（-1，1）上是增函数，故由不等式f(x)≥f(1-

2

2+3x

)，可得x≥1-

2

2+3x

，即

x(3x-1)

3x+2

≥0，再用穿根法求得它的解集．

解答：解：（1）令t=x²-1，则有x²=t+1，故由函数f(x2-1)=logm

x2

2-x2

，可得f（t）=logm

t+1

2-(t+1)

=logm

t+1

1-t

．
故有f（x）=logm

x+1

1-x

．
再由

x+1

1-x

＞0，可得（x+1）（x-1）＜0，求得-1＜x＜1，故f（x）的定义域为（-1，1）．
再根据f（-x）=logm

-x+1

1+x

=-logm

x+1

1-x

=-f（x），可得函数f（x）为奇函数．
（2）由于函数f（x）=logm

x+1

1-x

在（-1，1）上是增函数，故有不等式f(x)≥f(1-

2

2+3x

)，
可得 x≥1-

2

2+3x

，即

x(3x-1)

3x+2

≥0．
再用穿根法求得它的解集为（-

2

3

，0]∪[

1

3

，+∞）．

点评：本题主要考查用换元法求函数的解析式，函数的奇偶性的判断，利用函数的单调性用穿根法解不等式，属于中档题．