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已知函数f(x2-1)=loga
x22-x2
(a>0且a≠1).
(1)求f(x)的表达式,写出其定义域,并判断奇偶性;
(2)求f-1(x)的表达式,并指出其定义域;
(3)判断f-1(x)单调性并证明.
分析:(1)由已知中函数f(x2-1)=loga
x2
2-x2
(a>0且a≠1),令t=x2-1,利用换元法,易求出f(x)的表达式,进而根据使函数解析式有意义的原则,构造关于x的不等式,解不等式即可求出函数的定义域,判断f(-x)与f(x)的关系,然后根据函数奇偶性的定义,即可判断出函数的奇偶性;
(2)利用指数式与对数式之间的互化关系,我们先将函数的解析式反表示后,再互换x,y的符号,即可得到f-1(x)的表达式,进而根据使函数解析式有意义的原则,求出函数的定义域;
(3)根据指数函数的单调性,利用分析法,我们易判断出当自变量x增大时,函数值的变化趋势,进而判断出f-1(x)单调性.
解答:解:(1)令t=x2-1(t≥-1)
则x2=t+1
f(x2-1)=loga
x2
2-x2

f(t)=log2
t+1
2-(t+1)
=loga
1+t
1-t

f(x)=loga
1+x
1-x

要使函数的解析式有意义,自变量x须满足:-1<x<1
故函数f(x)的定义域为(-1,1)
又∵f(-x)=loga
1-x
1+x
=-f(x)
故函数为奇函数
(2)∵f(x)=loga
1+x
1-x
(-1<x<1)
∴f-1(x)=
2x-1
2x+1

由于函数解析式恒有意义
故函数f-1(x)的定义域为R
(3)∵f-1(x)=
2x-1
2x+1
=1-
2
2x+1

当x增大时,2x+1随之增大,
2
2x+1
随之减小,1-
2
2x+1
随之增大
故f-1(x)单调递增
点评:本题考查的知识点是对数函数图象与性质的综合应用,函数的解析式,函数的定义域,函数的奇偶性,函数的单调性判断及其证明,反函数,是函数问题比较综合的考查,有一定的难度,其中熟练掌握指数函数和对数函数的性质是解答本题的关键.
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2
2+3x
)

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