Question

【题目】以下关于圆锥曲线的命题中：

①双曲线与椭圆有相同焦点；

②以抛物线的焦点弦（过焦点的直线截抛物线所得的线段）为直径的圆与抛物线的准线是相切的；

③设、为两个定点，为常数，若，则动点的轨迹为双曲线；

④过抛物线的焦点作直线与抛物线相交于、，则使它们的横坐标之和等于5的直线有且只有两条；

以上命题正确的个数为（ ）

A.1B.2C.3D.4

Answer 1

【答案】C

【解析】

①直接求解双曲线与椭圆的焦点再判断即可.

②利用焦半径公式分析即可.

③举出反例判定即可.

④设过焦点的直线方程联立抛物线分析即可.

对①, 双曲线的焦点为,椭圆的焦点为

.故①正确.

对②,不妨设以抛物线的焦点弦端点为.则以焦点弦为直径的圆的圆心.又圆的直径,圆心到准线的距离.故以抛物线的焦点弦为直径的圆与抛物线的准线是相切的.同理对任意开口的抛物线均成立.故②正确.

对③,当时易得,故的轨迹为线段的中垂线.

对④, 设过抛物线的焦点作直线,则.

设则横坐标之和.

故使它们的横坐标之和等于5的直线有且只有两条.

故①②④正确,③错误.

故选：C