Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，圆C：(x＋1)²＋y²＝16，点F(1，0)，E是圆C上的一个动点，EF的垂直平分线PQ与CE交于点B，与EF交于点D.

(1)求点B的轨迹方程；
(2)当点D位于y轴的正半轴上时，求直线PQ的方程；
(3)若G是圆C上的另一个动点，且满足FG⊥FE，记线段EG的中点为M，试判断线段OM的长度是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．

Answer 1

（1）＝1（2）x－2y＋4＝0（3）

(1)连结BF，由已知BF＝BE，所以BC＋BF＝BC＋BE＝CE＝4，
所以点B的轨迹是以C、F为焦点，长轴为4的椭圆，所以B点的轨迹方程为＝1.
(2)当点D位于y轴的正半轴上时，因为D是线段EF的中点，O为线段CF的中点，所以CE∥OD，且CE＝2OD，所以E、D的坐标分别为(－1，4)和(0，2)．
因为PQ是线段EF的垂直平分线，所以直线PQ的方程为y＝x＋2，即直线PQ的方程为x－2y＋4＝0.
(3)设点E、G的坐标分别为(x₁，y₁)和(x₂，y₂)，则点M的坐标为，因为点E、G均在圆C上，且FG⊥FE，所以(x₁＋1)²＋＝16，①，(x₂＋1)²＋＝16，②
(x₁－1)(x₂－1)＋y₁y₂＝0，③
所以＋＝15－2x₁，＋＝15－2x₂，x₁x₂＋y₁y₂＝x₁＋x₂－1.所以MO²＝[(x₁＋x₂)²＋(y₁＋y₂)²]＝·[(＋)＋(＋)＋2(x₁x₂＋y₁y₂)]＝[15－2x₁＋15－2x₂＋2(x₁＋x₂－1)]＝7，即M点到坐标原点O的距离为定值，且定值为.